В равнобедренной трапеции высота равна 6 см, диагональ равна 10 см, большее основание равно 11 см.

Ответы на вопрос

Отвечает Киевский Камран.

В данной задаче нужно найти меньшее основание равнобедренной трапеции, зная её высоту, диагональ и большее основание.

Дано:

Высота трапеции $h = 6$ см.
Диагональ $d = 10$ см.
Большое основание $AB = 11$ см.

Необходимо найти длину меньшего основания $CD$ (обозначим его как $x$ ).

Шаг 1: Определим структуру трапеции

Равнобедренная трапеция имеет два равных боковых стороны. Пусть боковая сторона трапеции — это $AD = BC = b$ .

Большое основание $AB = 11$ см.
Меньшее основание $CD = x$ см.
Высота $h = 6$ см.
Диагональ $AC = BD = 10$ см.

Шаг 2: Разбиваем трапецию

Проведём перпендикуляры из концов меньшего основания $CD$ на большее основание $AB$ . Обозначим точки, в которых перпендикуляры пересекают основание $AB$ , как $P$ и $Q$ . Таким образом, отрезки $AP$ и $BQ$ будут равны.

Теперь, так как трапеция равнобедренная, отрезок $PQ$ (расстояние между точками пересечения перпендикуляров) будет равен разности между большим и меньшим основанием:

PQ = AB - CD = 11 - x.

Шаг 3: Используем теорему Пифагора

Для треугольников $\triangle APD$ и $\triangle BQC$ , которые являются прямоугольными, можем применить теорему Пифагора. Сначала рассмотрим треугольник $\triangle APD$ .

В этом треугольнике:

$AD = b$ — боковая сторона,
$AP = \frac{11 - x}{2}$ — это половина разности между большими и меньшими основаниями,
$PD = 6$ см — высота трапеции.

По теореме Пифагора:

b^2 = \left(\frac{11 - x}{2}\right)^2 + 6^2.

Распишем это:

b^2 = \left(\frac{11 - x}{2}\right)^2 + 36.

Шаг 4: Рассмотрим диагональ

Теперь используем информацию о диагонали трапеции. Так как $\triangle ACD$ является прямоугольным треугольником, применим теорему Пифагора для него:

AC^2 = AD^2 + CD^2.

Подставим значения:

10^2 = b^2 + x^2.

Получим:

100 = b^2 + x^2.

Шаг 5: Решим систему уравнений

У нас есть система из двух уравнений:

$b^2 = \left(\frac{11 - x}{2}\right)^2 + 36$ ,
$b^2 = 100 - x^2$ .

Приравняем эти два выражения для $b^2$ :

\left(\frac{11 - x}{2}\right)^2 + 36 = 100 - x^2.

Решим это уравнение:

\left(\frac{11 - x}{2}\right)^2 = 64 - x^2.

Умножим обе стороны на 4:

(11 - x)^2 = 256 - 4x^2.

Раскроем скобки:

121 - 22x + x^2 = 256 - 4x^2.

Приведём все элементы в одну сторону:

121 - 22x + x^2 - 256 + 4x^2 = 0,

5x^2 - 22x - 135 = 0.

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

x = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4(5)(-135)}}{2(5)}.

Посчитаем:

x = \frac{22 \pm \sqrt{484 + 2700}}{10},

В равнобедренной трапеции высота равна 6 см, диагональ равна 10 см, большее основание равно 11 см. Найти другие основания.