РЕШИТЕ ПРОШУ!!! *-* 1) В трапеции АВСД продолжения боковых сторон пересекаются в точке К, причём точка В- середина отрезка АК. Найдите сумму оснований трапеции, если АД =12 см. 2)Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Найдите ЕF, если сторона АС равна15 см.

Давайте поочередно разберем оба пункта:

1. Задача с трапецией:

У нас есть трапеция $ABCD$, в которой продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$. Из условия задачи известно, что точка $B$ — середина отрезка $AK$, и что $AD = 12 \, \text{см}$.

Для решения этой задачи важно использовать свойства подобных треугольников и медиан в трапеции.

Шаги решения:

1. Треугольники $ABK$ и $DCK$ — подобны, так как они имеют одинаковые углы в точке пересечения продолжений сторон трапеции (углы $\angle ABK$ и $\angle DCK$ равны). Это следует из теоремы о подобии треугольников по двум углам.

2. Из условия задачи точка $B$ — середина отрезка $AK$, а значит, отрезок $BK$ в два раза больше отрезка $AB$. Таким образом, можно записать, что:

   $$BK = 2 \cdot AB$$

3. Теперь, зная, что трапеция имеет боковые стороны $AB$ и $CD$, а продолжения этих сторон пересекаются в точке $K$, можем воспользоваться свойством, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является средней линией. Эта линия параллельна основаниям трапеции и равна полусумме оснований.

4. То есть, если через точку $B$ провести прямую, параллельную основаниям $AB$ и $CD$, то она будет средней линией трапеции, и её длина будет равна:

   $$\frac{AB + CD}{2}$$

5. В нашем случае, поскольку $B$ — середина отрезка $AK$, отрезок $AB$ можно выразить через известное $AD = 12 \, \text{см}$, что позволяет найти сумму оснований трапеции.

После выполнения этих шагов можно найти сумму оснований $AB + CD$. Ответ будет:

2. Задача с медианами треугольника:

Здесь у нас есть треугольник $ABC$, медианы которого пересекаются в точке $O$. Через точку O \ проведена прямая, параллельная стороне \( AC, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Из условия задачи известно, что сторона $AC = 15 \, \text{см}$, и нужно найти длину отрезка $EF$.

Шаги решения:

1. В треугольнике медианы пересекаются в точке $O$, которая делит каждую медиану в отношении $2:1$, то есть расстояние от вершины до точки пересечения медиан в два раза больше, чем расстояние от точки пересечения до средней точки стороны.

2. Прямая, проведенная через точку $O$ и параллельная стороне $AC$, будет делить треугольник на два меньших треугольника, которые подобны исходному треугольнику $ABC$ (по критерию подобия треугольников по углам и пропорциональности сторон).

3. Так как прямая $EF$ параллельна стороне $AC$, и она делит треугольник, то по свойствам подобных треугольников отрезок $EF$ будет пропорционален стороне $AC$.

4. Учитывая, что точка $O$ — центр масс, который делит каждую медиану в отношении $2:1$, отрезок $EF$ будет составлять $\frac{1}{3}$ от длины стороны $AC$, так как $EF$ лежит между серединами сторон треугольников, образованных прямой через $O$.

5. Следовательно, длина отрезка $EF$ будет равна:

   $$EF = \frac{1}{3} \times AC = \frac{1}{3} \times 15 = 5 \, \text{см}$$

Ответ: