Точки D и Е - середины сторон АВ и ВС треугольника АВС, а точки М и N лежат на строне АС, причем АМ=МN=NС, вектор АМ= вектору a, вектор АD= вектору b.
а) Выразите векторы АЕ, ВN, EN через векторы а и b.
б) Докажите с помощью векторов, что BN║DM.

Для решения задачи будем использовать обозначения и методы работы с векторами. В частности, будем опираться на свойства середины отрезков и вычленение компонент векторов.

Задание (а)

Необходимо выразить векторы $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{BN}$, $\overrightarrow{EN}$ через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

1. Вектор $\overrightarrow{AE}$

Точка $E$ — середина стороны $BC$, то есть:

Теперь выразим $\overrightarrow{AE}$ через $\overrightarrow{A}$, $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{C}$:

Используя то, что $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a}$, и что точка $M$ делит сторону $AC$ пополам, то:

Подставляем это в выражение для $\overrightarrow{AE}$:

Упрощаем:

Таким образом: