Периметр ромба равен 12√37 дм,. а одна из его диагоналей меньше другой в 6 раз. Найдите площадь ромба. Варианты ответа: 1) 36 дм в кв, 2)37 дм в кв. 3)108 дм в кв. 4) 18 дм в кв

Давайте шаг за шагом разберем задачу.

1. Дано:

   • Периметр ромба равен $12\sqrt{37}$ дм.
   • Одна из диагоналей ромба в 6 раз меньше другой.

2. Найдем сторону ромба. Периметр ромба — это сумма всех его сторон, а так как у ромба все стороны равны, то периметр $P$ можно выразить как:

   $$P = 4a,$$

   где $a$ — это длина одной стороны ромба.

   Подставим данные:

   $$12\sqrt{37} = 4a.$$

   Разделим обе стороны на 4:

   $$a = \frac{12\sqrt{37}}{4} = 3\sqrt{37}.$$

   Таким образом, длина стороны ромба $a = 3\sqrt{37}$ дм.

3. Диагонали ромба. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре прямоугольных треугольника. Обозначим длины диагоналей как $d_1$ и $d_2$, где $d_1$ — это большая диагональ, а $d_2$ — меньшая. Из условия задачи известно, что одна диагональ в 6 раз меньше другой, то есть:

   $$d_1 = 6d_2.$$

4. Используем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников. В каждом прямоугольном треугольнике катеты равны половинам диагоналей ромба, а гипотенуза — это сторона ромба. Поэтому по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это сторона ромба $a$, а катеты — половины диагоналей:

   $$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2.$$

   Подставим $a = 3\sqrt{37}$ и $d_1 = 6d_2$:

   $$(3\sqrt{37})^2 = \left(\frac{6d_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2,$$ $$27 \times 37 = (3d_2)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2,$$ $$999 = 9d_2^2 + \frac{d_2^2}{4}.$$

   Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:

   $$3996 = 36d_2^2 + d_2^2,$$ $$3996 = 37d_2^2.$$

   Теперь разделим на 37:

   $$d_2^2 = \frac{3996}{37} = 108.$$

   Таким образом, $d_2 = \sqrt{108} = 2\sqrt{27} = 6\sqrt{3}$ дм.

5. Найдем $d_1$. Так как $d_1 = 6d_2$, то:

   $$d_1 = 6 \times 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \, \text{дм}.$$