1) в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 54, а один из острых углов равен 30 градусов. Найдите площадь треугольника
2) периметр ромба равен 108, а синус одного из углов равен 8/9. Найдите площадь ромба .

Задача 1

В первом задании у нас дан прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза $c = 54$, и один из острых углов равен $30^\circ$. Нам нужно найти площадь треугольника.

1. Определим стороны треугольника. В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен $30^\circ$, то противолежащий этому углу катет равен половине гипотенузы.

   Пусть катет, противолежащий углу $30^\circ$, обозначен как $a$, тогда:

   $$a = \frac{c}{2} = \frac{54}{2} = 27$$

2. Найдём второй катет $b$. В прямоугольном треугольнике соотношение катетов, противолежащего углу $30^\circ$, и гипотенузы соответствует треугольнику $1 : \sqrt{3} : 2$. Это значит, что второй катет можно найти как произведение первого катета на $\sqrt{3}$:

   $$b = a \cdot \sqrt{3} = 27 \cdot \sqrt{3}$$

3. Найдём площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

   Подставляем значения:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot (27 \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 27 \cdot \sqrt{3} = \frac{729 \cdot \sqrt{3}}{2}$$

   Окончательный ответ: $S = \frac{729 \cdot \sqrt{3}}{2}$.

Задача 2

Во втором задании у нас дан ромб с периметром 108, и синус одного из углов равен $\frac{8}{9}$. Нам нужно найти площадь ромба.

1. Найдём сторону ромба. Поскольку у ромба все стороны равны, его периметр можно представить как:

   $$4a = 108$$

   Отсюда длина стороны $a$:

   $$a = \frac{108}{4} = 27$$

2. Вспомним формулу площади ромба. Площадь ромба можно вычислить по формуле:

   $$S = a^2 \sin \alpha$$

   где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между его сторонами. Подставим известные значения:

   $$S = 27^2 \cdot \frac{8}{9}$$

   Вычислим:

   $$S = 729 \cdot \frac{8}{9} = 729 \cdot 0.888... = 648$$

Окончательный ответ: $S = 648$.