Дан ромб АВСД с острым углом А. Высота ВН, проведенная к стороне СД, пересекает диагональ АС в точке М. Найдите площадь треугольника СМН, если высота ромба равна 8, а площадь ромба равна 80».

Чтобы найти площадь треугольника $\triangle CMH$, воспользуемся данными и решим задачу поэтапно.

Дано:

• Высота ромба $BH = 8$,
• Площадь ромба $S_{\text{ромба}} = 80$.

Шаг 1. Найдем сторону ромба.

Площадь ромба вычисляется как произведение его стороны $a$ на высоту, проведённую к этой стороне:

Подставляем данные:

Сторона ромба равна $10$.

Шаг 2. Найдем диагонали ромба.

Площадь ромба также выражается через произведение диагоналей $AC$ и $BD$:

Подставляем площадь ромба:

Шаг 3. Свойства точек пересечения диагоналей.

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому $O$, точка пересечения, делит $AC$ и $BD$ на равные части. Пусть:

Тогда:

Шаг 4. Найдем длины высот в треугольниках.

Точка $M$ лежит на диагонали $AC$, а точка $H$ находится на стороне $CD$, причём $BH$ является высотой. Рассмотрим треугольник $\triangle CMH$, основание которого $CH$ — часть диагонали $AC$, а высота из вершины $M$ совпадает с частью диагонали $BD$.

По свойству диагоналей ромба:

1. Они делят углы пополам.
2. Длина каждой половины равна $p$ для $AC$ и $q$ для $BD$.

Высота в треугольнике $\triangle CMH$ равна половине диагонали $BD$, то есть:

Основание $CH$ в треугольнике $\triangle CMH$ — половина диагонали $AC$, то есть:

Шаг 5. Вычислим площадь треугольника $\triangle CMH$.

Площадь треугольника находится по формуле:

Подставляем значения:

Ранее мы нашли, что $pq = 40$. Следовательно:

Ответ:

Площадь треугольника $\triangle CMH$ равна 20.