ПОМОГИТЕ!!!!!! при каком условии будет выполнено неравенство векторов |a+b|>|a-b|?

Ответы на вопрос

Отвечает Тупиков Сергей.

Неравенство $| \mathbf{a} + \mathbf{b} | > | \mathbf{a} - \mathbf{b} |$ связано с длинами (модулями) суммы и разности двух векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ , и чтобы понять, при каких условиях оно выполняется, давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Векторные выражения

Сумма векторов $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ : Это новый вектор, который получается при сложении двух векторов. Его длина будет зависеть от направления и величины исходных векторов.
Разность векторов $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ : Это вектор, который получается при вычитании одного вектора из другого. Его длина также зависит от взаимного направления и величины векторов.

Шаг 2: Геометрическая интерпретация

Для выполнения неравенства $| \mathbf{a} + \mathbf{b} | > | \mathbf{a} - \mathbf{b} |$ , сумма векторов $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ должна быть длиннее, чем разность векторов $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ .

Геометрически это условие означает, что векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ не должны быть слишком похожими по направлению. В противном случае, их сумма и разность будут иметь схожие длины. Условие, когда длина суммы больше длины разности, скорее всего будет выполняться, если угол между векторами не слишком маленький.

Шаг 3: Алгебраическое выражение

Для более формального анализа можно использовать теорему о квадрате длины вектора. Для любых векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ верны следующие равенства:

| \mathbf{a} + \mathbf{b} |^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}

| \mathbf{a} - \mathbf{b} |^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}

Таким образом, неравенство $| \mathbf{a} + \mathbf{b} | > | \mathbf{a} - \mathbf{b} |$ эквивалентно следующему:

|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}

Упростив, получаем:

4 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0

Это означает, что скалярное произведение $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ должно быть положительным. А скалярное произведение двух векторов положительно, если угол между ними острый (меньше 90 градусов).

Шаг 4: Условие для выполнения неравенства

Таким образом, условие выполнения неравенства $| \mathbf{a} + \mathbf{b} | > | \mathbf{a} - \mathbf{b} |$ — это угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ должен быть острым (меньше 90 градусов). То есть, векторы должны иметь положительное скалярное произведение.

Итог

Неравенство $| \mathbf{a} + \mathbf{b} | > | \mathbf{a} - \mathbf{b} |$ выполнено, если угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ острый. Это эквивалентно тому, что скалярное произведение этих векторов должно быть положительным.