1) даны векторы а(4;8), b(2;2), с(2;-4), d(-4;-8). перечислите пары коллинеарных векторов. какие из данных векторов одинаково, а какие противоположно направлены?
2) даны векторы a(4;8), b(2;-3), c(-3;0). найдите такие числа лямда(Л) и ню(Н),чтобы выполнялось векторное равенство с=Ла+Нb

1. Определение коллинеарных векторов:

Для того чтобы два вектора были коллинеарными, между ними должно существовать такое скалярное (числовое) отношение, что один вектор является кратным другого. Это означает, что их направляющие косые углы одинаковы (или противоположны), и векторы лежат на одной прямой. Если два вектора коллинеарны, то существует число $k$, такое что $\mathbf{v}_2 = k \cdot \mathbf{v}_1$.

Даны векторы:

• $\mathbf{a} = (4; 8)$
• $\mathbf{b} = (2; 2)$
• $\mathbf{c} = (2; -4)$
• $\mathbf{d} = (-4; -8)$

Для проверки, коллинеарны ли два вектора, можно проверить, можно ли выразить один вектор через другой с помощью скалярного множителя.

• Проверим, коллинеарны ли $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$: Для того чтобы $\mathbf{a} = k \cdot \mathbf{b}$, нужно, чтобы компоненты векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ удовлетворяли соотношению:

  $$\frac{4}{2} = \frac{8}{2} \quad \Rightarrow \quad 2 = 4.$$

  Это не выполняется, следовательно, $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ не коллинеарны.

• Проверим, коллинеарны ли $\mathbf{a}$ и $\mathbf{c}$: Нужно, чтобы:

  $$\frac{4}{2} = \frac{8}{-4} \quad \Rightarrow \quad 2 = -2.$$

  Это не выполняется, следовательно, $\mathbf{a}$ и $\mathbf{c}$ не коллинеарны.

• Проверим, коллинеарны ли $\mathbf{a}$ и $\mathbf{d}$: Нужно, чтобы:

  $$\frac{4}{-4} = \frac{8}{-8} \quad \Rightarrow \quad -1 = -1.$$

  Это выполняется, следовательно, $\mathbf{a}$ и $\mathbf{d}$ коллинеарны.

• Проверим, коллинеарны ли $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$: Нужно, чтобы:

  $$\frac{2}{2} = \frac{2}{-4} \quad \Rightarrow \quad 1 = -0.5.$$

  Это не выполняется, следовательно, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$ не коллинеарны.

• Проверим, коллинеарны ли $\mathbf{b}$ и $\mathbf{d}$: Нужно, чтобы:

  $$\frac{2}{-4} = \frac{2}{-8} \quad \Rightarrow \quad -0.5 = -0.25.$$

  Это не выполняется, следовательно, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{d}$ не коллинеарны.

• Проверим, коллинеарны ли $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$: Нужно, чтобы:

  $$\frac{2}{-4} = \frac{-4}{-8} \quad \Rightarrow \quad -0.5 = 0.5.$$

  Это не выполняется, следовательно, $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ не коллинеарны.

Вывод: Коллинеарные пары: $\mathbf{a}$ и $\mathbf{d}$.

2. Нахождение чисел $\lambda$ и $\nu$, чтобы выполнялось равенство $\mathbf{c} = \lambda \mathbf{a} + \nu \mathbf{b}$:

Даны векторы:

• $\mathbf{a} = (4; 8)$
• $\mathbf{b} = (2; -3)$
• $\mathbf{c} = (-3; 0)$

Нужно найти такие $\lambda$ и $\nu$, чтобы выполнялось равенство:

Разложим это на компоненты:

Это означает, что:

Теперь решим систему линейных уравнений.

1. Из уравнения (2):

2. Подставим это в уравнение (1):

Приведем к общему знаменателю: