Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30 градусам Через точку С проведена касательная пересекающая прямую АВ в точке К найдите радиус окружности если СК= 4 см

Рассмотрим задачу по шагам. Нам нужно найти радиус окружности $R$, если известны следующие условия:

• Угол между диаметром $AB$ и хордой $AC$ равен $30^\circ$.
• Через точку $C$ проведена касательная, пересекающая прямую $AB$ в точке $K$.
• Длина $CK = 4$ см.

Шаг 1: Геометрическое обоснование

1. Диаметр $AB$ проходит через центр окружности $O$. Значит, угол $AOC = 90^\circ$ (центральный угол над диаметром).
2. Хорда $AC$ образует угол $30^\circ$ с диаметром $AB$. Следовательно, треугольник $AOC$ прямоугольный с углом $\angle CAB = 30^\circ$.

Шаг 2: Определение основных параметров

В треугольнике $AOC$:

• Радиус окружности $R$ является гипотенузой.
• Катет $AC$ против угла $30^\circ$ равен $R/2$, а другой катет $OC$ равен $R \sqrt{3}/2$.

Шаг 3: Условие касательной

Касательная $CK$, проведенная через точку $C$, перпендикулярна радиусу $OC$, проведенному в точку касания. Это свойство касательной к окружности.

Треугольник $OCK$ является прямоугольным, где:

• $OC = R \sqrt{3}/2$,
• $CK = 4$,
• $OK$ — гипотенуза.

Используем теорему Пифагора:

Шаг 4: Найдем длину $OK$

Гипотенуза $OK$ равна сумме радиуса $R$ и расстояния $OK = R$, так как точка $K$ лежит на прямой $AB$.

Подставим выражение $OC = R \sqrt{3}/2$ и $CK = 4$:

Раскроем скобки и упростим:

Сократим $16$ по обе стороны:

Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:

Упростим:

Вынесем $R$ за скобки:

Шаг 5: Решение уравнения

Отсюда $R = 0$ (нет физического смысла) или $R = 32$.

Ответ:

Радиус окружности $R = 32$ см.