даны точки А(-1;5;3) В(7;-1;3)С(3;-2;6)Доказать,что треугольник АВС-прямоугольный.

Чтобы доказать, что треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным, достаточно проверить, выполняется ли условие прямоугольности через теорему Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

1. Найдем длины сторон треугольника $\triangle ABC$:

   Формула для вычисления расстояния между двумя точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$:

   $$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.$$

   • Длина стороны $AB$:

     $$AB = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (-1 - 5)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10.$$

   • Длина стороны $BC$:

     $$BC = \sqrt{(3 - 7)^2 + (-2 - (-1))^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}.$$

   • Длина стороны $AC$:

     $$AC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-7)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 49 + 9} = \sqrt{74}.$$

2. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

   Нужно проверить, существует ли такая комбинация сторон, при которой сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату самой длинной стороны. Сравним:

   • $AB^2 = 100$,
   • $BC^2 = 26$,
   • $AC^2 = 74$.

   Проверим, выполняется ли $AB^2 = BC^2 + AC^2$:

   $$AB^2 = BC^2 + AC^2 \implies 100 = 26 + 74.$$

   Это верное равенство.

3. Вывод:

   Треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным, так как выполняется теорема Пифагора, и сторона $AB$ — гипотенуза.