Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(0;1), В(1;-4), С(5;2) а)найдите координаты середины D стороны ВС
б) Докажите, что АD⊥ВС

Для решения данной задачи по частям:

а) Найдите координаты середины $D$ стороны $BC$

Координаты середины отрезка $BC$ можно найти по формуле:

где $B(1; -4)$ и $C(5; 2)$ — координаты концов отрезка.

Подставляем значения:

Итак, координаты точки $D$ — это $D(3; -1)$.

б) Докажите, что $AD \perp BC$

Для доказательства перпендикулярности двух отрезков нужно проверить, что произведение их угловых коэффициентов равно $-1$:

где $k_{AD}$ и $k_{BC}$ — угловые коэффициенты прямых $AD$ и $BC$ соответственно.

1. Найдём угловой коэффициент $k_{AD}$:

Формула для углового коэффициента между двумя точками:

Для отрезка $AD$ точки $A(0; 1)$ и $D(3; -1)$:

2. Найдём угловой коэффициент $k_{BC}$:

Для отрезка $BC$ точки $B(1; -4)$ и $C(5; 2)$:

3. Проверим условие перпендикулярности:

Перемножим угловые коэффициенты $k_{AD}$ и $k_{BC}$:

Так как произведение равно $-1$, то $AD \perp BC$. Это доказано.

Ответ:

а) Координаты середины $D$: $(3; -1)$.
б) $AD \perp BC$, доказано через проверку угловых коэффициентов.