2) В правильном тетраэдре DABC с ребром a точка О - центр треугольника ABC. a) Построить вектор DC+1/3(CA+CB) и найдите его длину. b) Найдите |DO-1/2DA|

Для решения данной задачи начнем с построения векторов и выполнения требуемых операций. Разберем по частям.

Дано:

1. $DABC$ — правильный тетраэдр, все его ребра равны $a$.
2. Точка $O$ — центр треугольника $ABC$ (центр масс или точка пересечения медиан).

Шаг 1. Определим координаты вершин и точки $O$.

Установим систему координат:

• Точка $A = (0, 0, 0)$,
• Точка $B = (a, 0, 0)$,
• Точка $C = \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 \right)$ (из геометрии правильного треугольника),
• Точка $D$ расположена над треугольником $ABC$ в направлении оси $z$. Высота правильного тетраэдра из вершины $D$ равна $h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Таким образом, координаты $D$ — $\left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)$.

Центр $O$ треугольника $ABC$ (центр масс):

Подставляем координаты $A, B, C$:

Часть (a): Построить $\mathbf{DC} + \frac{1}{3} (\mathbf{CA} + \mathbf{CB})$ и найти его длину.

Построим векторы:

1. $\mathbf{DC} = \vec{C} - \vec{D} = \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 \right) - \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)$