ДАЮ 50 БАЛЛОВ: Угол между векторами a и b равен 30 градусам, |a|= |b| =1. Найти скалярное произведение (a -2b)(a+b)​

Давайте подробно разберем эту задачу. Нам нужно найти скалярное произведение $(a - 2b) \cdot (a + b)$, где угол между векторами $a$ и $b$ равен $30^\circ$, а их длины $|a| = |b| = 1$.

Распишем выражение:

Скалярное произведение $(a - 2b) \cdot (a + b)$ можно раскрыть по распределительному закону:

Теперь упрощаем это выражение, используя свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение вектора на себя:

   $$a \cdot a = |a|^2 = 1^2 = 1, \quad b \cdot b = |b|^2 = 1^2 = 1.$$

2. Скалярное произведение $a \cdot b$: Используем формулу для скалярного произведения:

   $$a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos \theta,$$

   где $\theta = 30^\circ$, а $|a| = |b| = 1$. Тогда:

   $$a \cdot b = 1 \cdot 1 \cdot \cos 30^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

3. Подставим найденные значения: Теперь выражение $(a - 2b) \cdot (a + b)$ раскрывается следующим образом:

   $$(a - 2b) \cdot (a + b) = (a \cdot a) + (a \cdot b) - 2(b \cdot a) - 2(b \cdot b).$$

   Учитывая симметрию скалярного произведения ($b \cdot a = a \cdot b$), подставим:

   $$= 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot 1.$$

4. Упростим выражение:

   $$1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{2} - 2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2.$$

   Сложим числа:

   $$1 - 2 = -1, \quad \text{поэтому: } -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: