В равнобедренном треугольнике ABC , BD - медиана , AC=8 BD=3 . Найдите скалярное произведение : AB*BD

В задаче дан равнобедренный треугольник ABC, в котором BD — медиана, а также указаны длины сторон: AC = 8 и BD = 3. Требуется найти скалярное произведение вектора AB на вектор BD, то есть $\vec{AB} \cdot \vec{BD}$.

Для того чтобы решить задачу, воспользуемся геометрией и свойствами векторов.

Шаг 1. Построим координатную систему

Пусть треугольник ABC лежит в плоскости, и мы зададим его координаты в декартовой системе отсчёта. Поскольку треугольник равнобедренный, мы можем разместить точку A в начале координат, а точку C на оси X, так как AC = 8. Таким образом, координаты точек будут:

• $A(0, 0)$
• $C(8, 0)$

Так как BD — медиана, то точка D делит отрезок AC пополам. Положение точки D будет равно середине отрезка AC, то есть её координаты:

• $D(4, 0)$

Шаг 2. Определим координаты точки B

Теперь необходимо найти координаты точки B. Из условия задачи мы знаем, что BD = 3. Так как BD — медиана, точка D лежит на отрезке AC, и B находится на расстоянии 3 от D. Расстояние между B и D по формуле расстояния в двумерной плоскости будет равно 3:

Отсюда получаем уравнение:

Также, поскольку треугольник ABC равнобедренный, точка B должна располагаться симметрично относительно оси X, т.е. её абсцисса должна быть 4 (по аналогии с точкой D, которая находится на оси X). Таким образом, $x_B = 4$, и у нас остаётся решить уравнение для $y_B$:

Таким образом, точки B могут иметь координаты $(4, 3)$ или $(4, -3)$. В обоих случаях мы получаем одинаковые результаты для скалярного произведения, поскольку скалярное произведение не зависит от направления вектора, а только от его длины и угла между векторами.

Шаг 3. Находим скалярное произведение

Теперь, когда у нас есть координаты точек, можно найти скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ можно выразить через их координаты.

• Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(4 - 0, 3 - 0) = (4, 3)$.
• Вектор $\vec{BD}$ имеет координаты $(4 - 4, 0 - 3) = (0, -3)$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{A} = (x_1, y_1)$ и $\vec{B} = (x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

Подставляем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$:

Ответ

Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$