Доказать теоремы 1. в равнобедренном треугольнике медиана проведённая к основанию является биссектрисой и высотой
2. в равнобедренном треугольнике высота проведённая к основанию является медианой и биссектрисой

1. Теорема: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство:

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$. Обозначим точку $M$ как середину основания $BC$, то есть $BM = MC$.

1. Медиана: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, медиана $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой основания $BC$.

2. Высота: Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на противоположную сторону. Медиана $AM$ перпендикулярна основанию $BC$, так как в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, обязательно перпендикулярна этому основанию (с этим связано одно из свойств равнобедренных треугольников).

3. Биссектрисой: Биссектрисой угла называют отрезок, который делит угол на два равных угла. Поскольку $AB = AC$, то углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ равны. Медиана $AM$, проведенная к основанию $BC$, делит угол $\angle BAC$ пополам, что является определением биссектрисы.

Таким образом, медиана $AM$ в равнобедренном треугольнике является и высотой, и биссектрисой. Доказательство завершено.

2. Теорема: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Доказательство:

Пусть треугольник $ABC$ является равнобедренным, где $AB = AC$, и проведена высота $AD$ к основанию $BC$.

1. Высота: По определению, высота $AD$ — это перпендикуляр, проведенный из вершины $A$ к основанию $BC$, то есть $AD \perp BC$.

2. Медиана: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Поскольку треугольник равнобедренный, то $AB = AC$, и высота $AD$ должна делить основание $BC$ пополам, то есть $BD = DC$. Это свойство равнобедренных треугольников, где высота, проведенная к основанию, является также медианой.

3. Биссектрисой: Биссектрисой угла называется отрезок, который делит угол на два равных угла. В равнобедренном треугольнике углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ равны, и высота $AD$, которая делит основание пополам, также делит угол $\angle BAC$ пополам, выполняя условие биссектрисы.

Таким образом, высота $AD$ в равнобедренном треугольнике является и медианой, и биссектрисой. Доказательство завершено.

Эти теоремы являются классическими результатами для равнобедренных треугольников, где медиана, проведенная к основанию, и высота, проведенная к основанию, совпадают и обладают дополнительными свойствами.