Дан прямоугольный параллелепипед PORTP1O1R1T1, укажите угол между прямой RO1 и плоскостью T1TR. Ответ обоснуйте.

Чтобы найти угол между прямой RO1 и плоскостью T1TR, нужно понять геометрическую ситуацию и использовать несколько важных понятий из аналитической геометрии.

Шаг 1: Определим основные элементы

У нас есть прямоугольный параллелепипед с вершинами PORTP1O1R1T1.

• Прямой RO1 — это линия, соединяющая вершины R и O1.
• Плоскость T1TR — это плоскость, образованная точками T1, T и R.

Шаг 2: Используем понятие угла между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется через угол между прямой и её проекцией на плоскость. Однако, для упрощения, можно использовать векторный подход.

Угол между прямой и плоскостью можно найти по формуле:

где:

• $\theta$ — угол между прямой и плоскостью,
• $\vec{n}$ — нормальный вектор плоскости,
• $\vec{d}$ — направляющий вектор прямой.

Шаг 3: Нормальный вектор плоскости

Плоскость T1TR определена тремя точками: T1, T и R. Для нахождения нормали к плоскости нам нужно найти два вектора, лежащих в этой плоскости, и вычислить их векторное произведение.

• Вектор $\vec{T1T}$ = T - T1,
• Вектор $\vec{T1R}$ = R - T1.

Нормальный вектор к плоскости будет равен векторному произведению этих двух векторов:

Шаг 4: Направляющий вектор прямой RO1

Для нахождения направляющего вектора прямой RO1, нужно вычесть координаты точки O1 из координат точки R:

Шаг 5: Нахождение угла

Теперь, зная нормальный вектор $\vec{n}$ и направляющий вектор $\vec{d}$, можно вычислить угол между ними, а затем, зная, что угол между прямой и плоскостью равен 90° минус угол между векторами $\vec{n}$ и $\vec{d}$, найти угол между прямой RO1 и плоскостью T1TR.

Таким образом, угол между прямой RO1 и плоскостью T1TR можно вычислить, используя аналитическую геометрию и векторное произведение.