Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от центра. пжжжжж

Для того чтобы доказать, что равные хорды окружности равноудалены от её центра, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Определения и обозначения

Пусть у нас есть окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Обозначим две хорды $AB$ и $CD$, которые имеют одинаковую длину (то есть $AB = CD$). Нужно доказать, что эти хорды равноудалены от центра окружности, то есть расстояния от центра $O$ до хорды $AB$ и до хорды $CD$ одинаковы.

2. Перпендикуляры из центра к хордам

По определению, перпендикуляр из центра окружности к хорде будет делить её пополам. Таким образом, для хорды $AB$ перпендикуляр из центра окружности, скажем, $OM$, будет проходить через середину хорды $AB$, где точка $M$ — середина хорды.

Аналогично, для хорды $CD$ перпендикуляр из центра окружности, скажем, $ON$, будет проходить через середину хорды $CD$, где точка $N$ — середина хорды.

3. Треугольники, образующиеся при построении перпендикуляров

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника:

• В треугольнике $OMA$ (где $O$ — центр окружности, $M$ — середина хорды $AB$, $A$ — одна из точек на хорде $AB$):

  • $OM$ — перпендикуляр от центра к хорде.
  • $OA = R$ — радиус окружности.
  • $AM = \frac{1}{2} AB$ — половина длины хорды $AB$.

• В треугольнике $ONC$ (где $O$ — центр окружности, $N$ — середина хорды $CD$, $C$ — одна из точек на хорде $CD$):

  • $ON$ — перпендикуляр от центра к хорде.
  • $OC = R$ — радиус окружности.
  • $CN = \frac{1}{2} CD$ — половина длины хорды $CD$.

4. Равенство половин хорды и использование теоремы Пифагора

Поскольку $AB = CD$, то и половины этих хордов равны: $AM = CN$.

Рассмотрим теперь прямоугольные треугольники $OMA$ и $ONC$. В этих треугольниках у нас есть:

• $OA = OC = R$ (радиус окружности),
• $AM = CN$ (половины равных хордов),
• угол $\angle OMA = \angle ONC = 90^\circ$ (перпендикуляры).

Так как два треугольника равны по гипотенузе и одной из катетов, их оставшийся катет также будет равен. То есть:

5. Заключение

Таким образом, перпендикуляры от центра окружности к хордам $AB$ и $CD$ равны, что означает, что хорды $AB$ и $CD$ равноудалены от центра окружности.