Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды боковое ребро которой равно 4 см и образуют с плоскостью основания угол60

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды, когда известно боковое ребро и угол между боковым ребром и плоскостью основания, нужно использовать несколько геометрических принципов. Рассмотрим пошаговое решение.

1. Дано:

   • Боковое ребро пирамиды (OB) равно 4 см.
   • Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен 60°.

2. Найдем высоту пирамиды (OH): Поскольку угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания (высотой пирамиды), то для нахождения высоты можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями.

   В данном случае угол между боковым ребром и высотой основания (OH) равен 60°, и мы можем применить косинус этого угла:

   $$\cos 60^\circ = \frac{OH}{OB}$$

   Так как $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, подставляем значение:

   $$\frac{1}{2} = \frac{OH}{4}$$

   Отсюда находим:

   $$OH = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \, \text{см}.$$

   То есть высота пирамиды равна 2 см.

3. Найдем сторону основания (a): Для этого нужно воспользоваться тем, что правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание, а боковые ребра одинаковы. Мы знаем, что угол между боковым ребром и плоскостью основания 60°, и мы можем использовать тот факт, что высота падает на центр основания.

   Сначала найдем расстояние от центра основания до вершины одного из боковых ребер (это будет половина диагонали основания). Из треугольника с высотой и боковым ребром можно найти половину диагонали основания:

   $$\sin 60^\circ = \frac{a/2}{4}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a/2}{4}$$ $$a/2 = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ $$a = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \, \text{см}.$$

   То есть длина стороны квадрата основания пирамиды приблизительно равна 6.93 см.

4. Теперь можем найти объем пирамиды: Объем правильной пирамиды вычисляется по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h,$$

   где $S_{\text{основания}}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды. Площадь основания квадрата вычисляется как:

   $$S_{\text{основания}} = a^2 = (6.93)^2 \approx 48.04 \, \text{см}^2.$$

   Теперь подставим все значения в формулу для объема:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot 48.04 \cdot 2 = \frac{1}{3} \cdot 96.08 \approx 32.03 \, \text{см}^3.$$

Ответ: объем пирамиды примерно равен 32.03 см³.