найдите объем правильной треугольной пирамиды,боковое ребро которой равно b и образует угол α с

Ответы на вопрос

Отвечает Иванова Полина.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $b$ и образует угол $\alpha$ с плоскостью основания, нужно пройти несколько этапов. Рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Геометрические основы

Правильная треугольная пирамида состоит из треугольного основания, где все стороны основания равны, и боковых граней, которые являются равными треугольниками. Боковое ребро пирамиды — это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с вершинами основания.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды можно найти, зная длину стороны основания $a$ . Площадь треугольника с равными сторонами (правильного треугольника) равна:

S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2

где $a$ — длина стороны основания.

2. Высота пирамиды

Высота пирамиды — это перпендикуляр от вершины пирамиды до плоскости основания. Чтобы найти высоту $h$ , используем угол $\alpha$ , который образует боковое ребро с плоскостью основания.

Мы знаем, что боковое ребро пирамиды $b$ составляет угол $\alpha$ с плоскостью основания. Этот угол связан с высотой $h$ и длиной бокового ребра через синус угла. Для этого воспользуемся тригонометрической зависимостью:

h = b \cdot \sin(\alpha)

3. Объем пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по стандартной формуле для пирамид:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h

Подставим выражения для площади основания и высоты:

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot b \cdot \sin(\alpha)

4. Нахождение связи между стороной основания и боковым ребром

Чтобы завершить решение задачи, нам нужно выразить длину стороны основания $a$ через боковое ребро $b$ . В правильной треугольной пирамиде расстояние от вершины до центра основания (высота из вершины основания) также связано с боковым ребром. Для правильной треугольной пирамиды эта связь будет следующей:

a = \frac{b}{\cos(\alpha)}

5. Итоговая формула для объема

Теперь подставим это значение $a$ в выражение для объема:

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{b}{\cos(\alpha)} \right)^2 \cdot b \cdot \sin(\alpha)

Упростив, получим окончательную формулу для объема пирамиды:

V = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \frac{b^3 \sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}

Эта формула дает объем правильной треугольной пирамиды, зная боковое ребро $b$ и угол $\alpha$ , который оно образует с плоскостью основания.

найдите объем правильной треугольной пирамиды,боковое ребро которой равно b и образует угол α с плоскостью основания пирамиды.

Ответы на вопрос

1. Геометрические основы

2. Высота пирамиды

3. Объем пирамиды

4. Нахождение связи между стороной основания и боковым ребром

5. Итоговая формула для объема

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия