Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ = 2 √7 см. Обязательно с рисунком

Рассмотрим задачу с треугольником $ABC$, где $\angle ACB = 90^\circ$ и треугольник является равнобедренным. Это значит, что $AC = BC = 4$ см, так как стороны, прилегающие к прямому углу, равны.

1. Определим координаты точек: Для удобства работы с задачей представим треугольник в координатной плоскости. Пусть:

   • Точка $C$ расположена в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$,
   • Точка $A$ будет на оси $x$ в точке $(4, 0)$,
   • Точка $B$ будет на оси $y$ в точке $(0, 4)$.

2. Нахождение координат точки $M$: Прямая $CM$ перпендикулярна плоскости треугольника, значит точка $M$ лежит на прямой, перпендикулярной к плоскости $ABC$, а сам отрезок $CM$ направлен вверх вдоль оси $z$. Пусть $M$ находится в точке $(0, 0, 2 \sqrt{7})$, где координата $z$ равна длине отрезка $CM$, а координаты $x$ и $y$ равны нулю, так как $M$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскости.

3. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$: Для нахождения расстояния от точки $M$ до прямой $AB$ можно использовать стандартную формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.

   Прямая $AB$ лежит в плоскости $xy$, её уравнение можно найти через координаты точек $A$ и $B$. Это прямая, проходящая через точки $(4, 0)$ и $(0, 4)$. Уравнение прямой $AB$ будет:

   $$\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1,$$

   или, после упрощения:

   $$x + y = 4.$$

   Теперь, используя формулу для расстояния от точки до прямой $ax + by + c = 0$ в 3D пространстве, где $a = 1, b = 1, c = -4$, находим расстояние от точки $M = (0, 0, 2 \sqrt{7})$ до прямой $AB$:

   $$\text{расстояние} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}.$$

Ответ: расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно $2 \sqrt{2}$ см.

Для иллюстрации задачи представьте, что плоскость треугольника $ABC$ находится в координатной плоскости, а точка $M$ располагается выше этой плоскости на высоте $2 \sqrt{7}$.