Через конечную точку C диагонали AC=15,7 ед. изм. квадрата ABCD проведена прямая перпендикулярно диагонали AC. Проведённая прямая пересекает прямые AB и AD в точках M и N соответственно. Определи длину отрезка MN.

Для того чтобы найти длину отрезка MN, давайте разберем задачу пошагово.

1. Построение геометрической ситуации: У нас есть квадрат ABCD. Диагональ AC квадрата равна 15,7 единиц. Через точку C диагонали AC проведена прямая, перпендикулярная этой диагонали. Эта прямая пересекает стороны AB и AD квадрата в точках M и N соответственно.

2. Свойства квадрата: В квадрате диагонали равны между собой и пересекаются под углом 90°. Таким образом, диагонали квадрата перпендикулярны и делят квадрат на четыре равных прямоугольных треугольника.

3. Использование координатной системы: Удобно ввести систему координат, чтобы проще работать с геометрией квадрата. Пусть квадрат ABCD расположен в координатной плоскости следующим образом:

   • Точка A находится в начале координат, т.е. в точке (0, 0).
   • Точка B — на оси X, т.е. в точке (a, 0).
   • Точка D — на оси Y, т.е. в точке (0, a).
   • Точка C находится в (a, a), так как диагональ AC проходит через две противоположные вершины квадрата.

   Диагональ AC имеет длину 15,7 ед. изм. (это равно $a\sqrt{2}$, так как диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$). Следовательно, длина стороны квадрата:

   $$a\sqrt{2} = 15,7$$ $$a = \frac{15,7}{\sqrt{2}} \approx 11,1$$

4. Построение перпендикуляра: Прямая, проведенная через точку C, перпендикулярна диагонали AC. Диагональ AC имеет наклон 45° (так как квадрат симметричен относительно своих диагоналей). Перпендикулярная прямая будет иметь наклон -1 (вспомним, что для перпендикулярных прямых произведение их угловых коэффициентов равно -1).

   Уравнение прямой, проходящей через точку C (11,1, 11,1) с наклоном -1, можно записать как:

   $$y - 11,1 = -1(x - 11,1)$$ $$y = -x + 22,2$$

5. Нахождение точек пересечения: Теперь, чтобы найти длину отрезка MN, нужно найти точки пересечения этой прямой с прямыми AB и AD.

   • Прямая AB — это линия, проходящая по оси X, т.е. её уравнение $y = 0$. Подставляем $y = 0$ в уравнение прямой:

     $$0 = -x + 22,2$$ $$x = 22,2$$

     Это значение для $x$ выходит за пределы квадрата, значит, нужно скорректировать и рассмотреть прямую внутри квадрата.