В прямоугольном треугольнике один катет равен 10 дм , его проекция на гипотенузу состовляет 8 дм. Найдите гипотенузу и второй катет.

Для решения задачи используем несколько математических понятий из геометрии прямоугольных треугольников. Пусть прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой (90 градусов), катет AC равен 10 дм, а проекция этого катета на гипотенузу AB составляет 8 дм. Нужно найти гипотенузу AB и второй катет BC.

1. Обозначения:

   • Пусть гипотенуза AB = $c$ дм.
   • Второй катет BC = $b$ дм.

2. Из условия задачи:

   • Катет AC = 10 дм.
   • Проекция катета AC на гипотенузу AB равна 8 дм.

   Проекция катета на гипотенузу можно выразить через угол между катетом и гипотенузой. Проекция катета AC на гипотенузу AB равна $AC \cdot \cos(\angle CAB)$, где $\angle CAB$ — угол между катетом AC и гипотенузой AB.

3. Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2.$$

   Это означает, что:

   $$c^2 = 10^2 + b^2 = 100 + b^2.$$

4. Связь проекции и катетов: Проекция катета AC на гипотенузу AB равна 8 дм, и эта проекция также можно найти через катет AC и угол $\theta = \angle CAB$ (между катетом и гипотенузой):

   $$10 \cdot \cos(\theta) = 8.$$

   Следовательно, $\cos(\theta) = \frac{8}{10} = 0.8$.

5. Найдем второй катет BC: Мы знаем, что проекция катета AC на гипотенузу AB равна $AC \cdot \cos(\theta)$. Теперь можно выразить $b = BC$ через теорему косинусов. В треугольнике:

   $$b = 0.8 \cdot (10$$

)}