Окружность вписана в правильный треугольник со стороной 4√3.Найти площадь круга,ограниченого этой окружностью

Для того чтобы найти площадь круга, ограниченного окружностью, вписанной в правильный треугольник, необходимо воспользоваться рядом геометрических и алгебраических методов.

1. Площадь правильного треугольника
   Сначала посчитаем площадь самого правильного треугольника. Из условия известно, что его сторона равна $4\sqrt{3}$. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:

   $$S_{\text{треугольника}} = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$$

   где $s$ — длина стороны треугольника. Подставляем $s = 4\sqrt{3}$:

   $$S_{\text{треугольника}} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \times 3 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{48 \sqrt{3}}{4} = 12 \sqrt{3}$$

2. Полупериметр треугольника
   Чтобы найти радиус вписанной окружности, нам нужно вычислить полупериметр правильного треугольника. Полупериметр $p$ можно найти по формуле:

   $$p = \frac{3s}{2}$$

   Подставляем $s = 4\sqrt{3}$:

   $$p = \frac{3 \times 4\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$

3. Радиус вписанной окружности
   Радиус $r$ вписанной окружности в правильный треугольник можно найти по формуле:

   $$r = \frac{S_{\text{треугольника}}}{p}$$

   Подставляем $S_{\text{треугольника}} = 12\sqrt{3}$ и $p = 6\sqrt{3}$:

   $$r = \frac{12\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = 2$$

   Таким образом, радиус вписанной окружности равен 2.

4. Площадь круга
   Площадь круга с радиусом $r = 2$ можно найти по формуле:

   $$S_{\text{круга}} = \pi r^2$$

   Подставляем $r = 2$:

   $$S_{\text{круга}} = \pi \times 2^2 = 4\pi$$

Таким образом, площадь круга, ограниченного вписанной окружностью, равна $4\pi$.