В треугольнике АВС известно, что А(3;-1;-2) В(-5;7;4) С(1;5;2). Найдите длину средней линии MN треугольника АВС, где M и N - середины сторон АС и ВС соответственно.

Для того чтобы найти длину средней линии $MN$ треугольника $ABC$, необходимо воспользоваться свойствами средней линии. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, и он параллелен третьей стороне, а также равен её половине.

Шаг 1. Найдем координаты точек $M$ и $N$.

Сначала находим координаты середин сторон $AC$ и $BC$.

• Точка $M$ — середина отрезка $AC$. Координаты середины отрезка между точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $C(x_2, y_2, z_2)$ вычисляются по формуле:

  $$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$$

  Подставляем координаты $A(3, -1, -2)$ и $C(1, 5, 2)$:

  $$M = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{-1 + 5}{2}, \frac{-2 + 2}{2} \right) = (2, 2, 0)$$

• Точка $N$ — середина отрезка $BC$. Координаты середины отрезка между точками $B(-5, 7, 4)$ и $C(1, 5, 2)$ вычисляются по той же формуле:

  $$N = \left( \frac{-5 + 1}{2}, \frac{7 + 5}{2}, \frac{4 + 2}{2} \right) = (-2, 6, 3)$$

Шаг 2. Найдем длину отрезка $MN$.

Теперь, зная координаты точек $M(2, 2, 0)$ и $N(-2, 6, 3)$, можем вычислить длину отрезка $MN$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

Подставляем координаты точек $M(2, 2, 0)$ и $N(-2, 6, 3)$:

Итак, длина средней линии $MN$ равна $\sqrt{41}$.