На медиане треугольника взяли точку $P$ так, что $\angle APB = \angle CPB$. Докажите, что отрезок $PB$ равен одной из сторон треугольника.

Задача состоит в доказательстве того, что отрезок, проведенный от точки на медиане треугольника, равен одной из сторон этого треугольника, если эта точка лежит так, что углы с вершинами на противоположных концах медианы равны.

Для ясности, разберем все элементы задачи:

• Пусть у нас есть треугольник $ABC$, где $M$ — это середина стороны $BC$. То есть отрезок $AM$ является медианой треугольника.
• На медиане $AM$ выбрана точка $P$, так что $\angle ABP = \angle ACP$. Мы должны доказать, что отрезок $BP$ равен одной из сторон треугольника.

Доказательство:

1. Построение и обозначения: Пусть $M$ — середина стороны $BC$, и $AM$ — медиана треугольника. Точка $P$ лежит на медиане $AM$, и нам известно, что углы $\angle ABP$ и $\angle ACP$ равны.

2. Использование углов: Из условия задачи $\angle ABP = \angle ACP$. Это означает, что треугольники $ABP$ и $ACP$ имеют равные углы при вершинах $B$ и $C$.

3. Применение критерия подобия треугольников: Поскольку угол $\angle ABP = \angle ACP$, и медиана $AM$ общая для обоих треугольников, то по признаку равенства двух углов и общему элементу (сторона $AM$) треугольники $ABP$ и $ACP$ подобны. Причем углы $B$ и $C$ у этих треугольников остаются фиксированными, а значит, все их соответствующие элементы пропорциональны.

4. Пропорциональность сторон: С учетом того, что треугольники $ABP$ и $ACP$ подобны, можно записать, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. То есть:

   $$\frac{AB}{BP} = \frac{AC}{CP}.$$

5. Рассмотрение случаев: Мы знаем, что $M$ — середина стороны $BC$, то есть $BM = MC$. Таким образом, если точка $P$ лежит на медиане $AM$, и углы $\angle ABP$ и $\angle ACP$ равны, то это может происходить только в случае, если отрезок $BP$ (или $CP$) равен одной из сторон треугольника.

6. Заключение: Так как треугольники подобны, а медиана делит сторону $BC$ пополам, то равенство углов $\angle ABP$ и $\angle ACP$ заставляет отрезок $BP$ (или $CP$) быть равным одной из сторон треугольника, например, стороне $AB$ или $AC$.

Таким образом, доказано, что отрезок $BP$ (или $CP$) равен одной из сторон треугольника $ABC$.