Отрезки АС и ВМ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.Доказать, что треугольник АВС равен треугольнику СМА

Давайте рассмотрим задачу и доказательство того, что $\triangle ABC \cong \triangle CMA$, если отрезки $AC$ и $BM$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Дано:

1. Отрезки $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $O$.
2. Точка $O$ делит $AC$ и $BM$ пополам, то есть:
   • $AO = OC$,
   • $BO = OM$.

Требуется доказать:

$\triangle ABC \cong \triangle CMA$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники: Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CMA$. Для доказательства их равенства воспользуемся признаками равенства треугольников.

2. Равенство сторон:

   • Из условия следует, что точка $O$ делит $AC$ пополам. Значит, $AO = OC$.
   • Точка $O$ также делит $BM$ пополам. Значит, $BO = OM$.

3. Общий угол: Угол $\angle AOB$ общий для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CMA$.

4. Третий признак равенства треугольников (по стороне, углу и стороне):

   • В $\triangle ABC$ и $\triangle CMA$ стороны $AO$ и $CO$ равны ($AO = OC$), а стороны $BO$ и $OM$ равны ($BO = OM$).
   • Угол $\angle AOB$ общий.

   Таким образом, $\triangle ABC \cong \triangle CMA$ по признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними равны).

Вывод:

Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CMA$ равны, так как выполнены условия равенства треугольников по признаку сторона-угол-сторона.