Поссорившись,Вася и Петя разбежались с одинаковыми скоростями в противоположных направлениях. Через 5 минут,Вася спохватился ,повернул назад и,увеличив
скорость,побежал догонять Петю . Во сколько раз увеличил скорость Вася,если он догнал Петю через 5 минут после того,как повернул назад?

Для того чтобы решить эту задачу, давай сначала обозначим несколько величин и рассмотрим, как меняются их значения со временем.

1. Обозначения:

   • Пусть скорость Васи до того, как он повернул назад, была $v$.
   • Скорость Пети, поскольку они бегали с одинаковыми скоростями в противоположных направлениях, тоже будет $v$.
   • Когда Вася решил вернуться назад, он увеличил свою скорость, пусть новая скорость будет $kv$, где $k$ — это коэффициент увеличения скорости, который нам нужно найти.

2. Момент времени:

   • В начале Вася и Петя побежали в противоположных направлениях. Через 5 минут Вася понял, что надо возвращаться.
   • Через 5 минут, пока Вася не развернулся, оба они пробежали одинаковое расстояние. Пусть это расстояние будет равно $5v$, потому что скорость $v$ умножаем на время 5 минут (это 1/12 часа).

3. Что происходит дальше:

   • Когда Вася разворачивается и начинает догонять Петю, Петя продолжает двигаться в том же направлении, с той же скоростью $v$.
   • Вася увеличивает свою скорость до $kv$, чтобы догнать Пету.
   • Для того, чтобы догнать Пету, Вася должен преодолеть расстояние, которое между ними на тот момент составляет $5v + 5v = 10v$ (так как они двигались в противоположных направлениях, то общее расстояние между ними равно удвоенному расстоянию, которое они пробежали за 5 минут).

4. Расчет времени, которое нужно Васе, чтобы догнать Петю:

   • После того как Вася повернул назад, расстояние, которое он должен пройти, равно $10v$.
   • Разница в скорости между Васей и Петей составляет $kv - v = (k - 1)v$.
   • Время, которое нужно Васе, чтобы догнать Петю, равно $\frac{10v}{(k - 1)v} = \frac{10}{k - 1}$.

5. Условие задачи:

   • Вася догоняет Петю через 5 минут после того, как он повернул назад, то есть через 5 минут. Значит, из уравнения получаем:
   $$\frac{10}{k - 1} = 5.$$
   • Умножим обе стороны на $k - 1$:
   $$10 = 5(k - 1),$$ $$10 = 5k - 5,$$ $$15 = 5k,$$ $$k = 3.$$

Таким образом, Вася увеличил свою скорость в 3 раза.