Найдите наибольшее значение функции:
y=корень из (84-8х-х^2)

Для того чтобы найти наибольшее значение функции $y = \sqrt{84 - 8x - x^2}$, нужно пройти несколько шагов.

1. Определим область определения функции:

   Чтобы выражение под корнем было неотрицательным, необходимо, чтобы $84 - 8x - x^2 \geq 0$. Это условие можно переписать как:

   $$-x^2 - 8x + 84 \geq 0.$$

   Умножим неравенство на $-1$ (не меняя его знака):

   $$x^2 + 8x - 84 \leq 0.$$

   Теперь решим неравенство $x^2 + 8x - 84 \leq 0$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 8x - 84 = 0$ с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$

   где $a = 1$, $b = 8$, $c = -84$.

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-84)}}{2(1)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 336}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{-8 \pm 20}{2}.$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{-8 + 20}{2} = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-8 - 20}{2} = -14.$$

   Таким образом, неравенство $x^2 + 8x - 84 \leq 0$ выполняется на промежутке $-14 \leq x \leq 6$. Это и есть область определения функции.

2. Найдем критические точки функции:

   Чтобы найти наибольшее значение функции, нужно взять производную $y'(x)$ и приравнять её к нулю. Но для начала, упростим функцию $y = \sqrt{84 - 8x - x^2}$ через замену:

   $$f(x) = 84 - 8x - x^2.$$

   Тогда $y = \sqrt{f(x)}$, и для нахождения производной используем цепное правило:

   $$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f'(x).$$

   Теперь найдем $f'(x)$:

   $$f'(x) = -8 - 2x.$$

   Таким образом, производная функции будет:

   $$y'(x) = \frac{-8 - 2x}{2\sqrt{84 - 8x - x^2}}.$$

   Приравняем производную к нулю:

   $$-8 - 2x = 0.$$

   Решив это уравнение, получаем:

   $$x = -4.$$

   Это точка, в которой функция может достичь максимума или минимума.

3. Проверим поведение функции на границах области определения:

   Функция определена на интервале $[-14, 6]$, поэтому проверим значения функции на границах:

   • При $x = -14$:

     $$y(-14) = \sqrt{84 - 8(-14) - (-14)^2} = \sqrt{84 + 112 - 196} = \sqrt{0} = 0.$$