Log^2_0,5(x)-log_0,5(x)-2>=0

Для решения неравенства $\log^2_{0.5}(x) - \log_{0.5}(x) - 2 \geq 0$, следуем следующему алгоритму:

1. Введение переменной

Обозначим $y = \log_{0.5}(x)$. Тогда исходное неравенство примет вид:

2. Решение квадратного неравенства

Рассмотрим квадратное уравнение $y^2 - y - 2 = 0$ для нахождения корней.

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

где $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$.

Корни:

Итак, уравнение $y^2 - y - 2 = 0$ имеет корни $y = 2$ и $y = -1$.

3. Знаки квадратного трёхчлена

Определим интервалы, где $y^2 - y - 2 \geq 0$. Это делается с помощью анализа знаков трёхчлена, разбивая ось $y$ на интервалы:

• $(-\infty, -1)$,
• $(-1, 2)$,
• $(2, +\infty)$.

На каждом интервале знак выражения совпадает с направлением ветвей параболы (ветви направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 1 > 0$).

Знаки:

• На $(-\infty, -1)$: $y^2 - y - 2 > 0$,
• На $(-1, 2)$: $y^2 - y - 2 < 0$,
• На $(2, +\infty)$: $y^2 - y - 2 > 0$.

Следовательно, $y^2 - y - 2 \geq 0$ на промежутках:

4. Возврат к переменной $\log_{0.5}(x)$

Напомним, что $y = \log_{0.5}(x)$. Подставим это обратно:

5. Решение для $x$

Рассмотрим каждый из промежутков отдельно:

1. Если $\log_{0.5}(x) \leq -1$:

   $$\log_{0.5}(x) = -1 \quad \Rightarrow \quad x = (0.5)^{-1} = 2.$$

   При $\log_{0.5}(x) < -1$, $x > 2$, так как основание логарифма $0.5 < 1$ и логарифм — убывающая функция.

   Итак, $x \geq 2$.

2. Если $\log_{0.5}(x) \geq 2$