Площадь прямоугольного треугольника равна 15 дм², а сумма длин его катетов 11 дм. Найти катеты.

Обозначим катеты через $a$ и $b$ (в дм).
Из условия:

1. Площадь прямоугольного треугольника

   $$S=\frac{ab}{2}=15\quad\Longrightarrow\quad ab=30.$$

2. Сумма катетов

   $$a+b=11.$$

Получаем систему

Выразим $b$ из первого равенства: $b=11-a$.
Подставим во второе:

Решим квадратное уравнение:

Соответственно

Таким образом, катеты равны $5\ \text{дм}$ и $6\ \text{дм}$. Проверка: $\frac{5\cdot 6}{2}=15\ \text{дм}^2$ — условие выполнено.