Найдите угол между ненулевыми векторами a{x; y} и b{-y; x}.

Рассмотрим векторы

где $(x,y)\neq(0,0)$.

Шаг 1. Скалярное произведение

Шаг 2. Длины векторов

Обе длины положительны, поскольку хотя бы одна из координат $x,\,y$ отлична от нуля.

Шаг 3. Косинус угла

По формуле

Шаг 4. Угол

Косинус равен нулю тогда и только тогда, когда $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ радиан, то есть $90^{\circ}$.

Геометрическое замечание

Вектор $\mathbf b=(-y,x)$ получается из $\mathbf a=(x,y)$ вращением на $90^{\circ}$ против часовой стрелки, что ещё раз подтверждает результат.