угол при основании равнобокой трапеции равен 60'.Прямая проходит через вершину тупого угла и параллельна боковой стороне делит большее основание на отрезки 5см и 4см.Найти периметр трапеции. Сколько решений имеет задача? ​

Давайте решим эту задачу и разберём её по шагам.

Дано:

• Угол при основании равнобокой трапеции равен $60^\circ$.
• Прямая, проведенная через вершину тупого угла и параллельная боковой стороне, делит большее основание на отрезки длиной 5 см и 4 см.
• Нужно найти периметр трапеции.

Решение:

1. Обозначим трапецию и её элементы:

   • Обозначим трапецию $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — основания трапеции ($AB < CD$).
   • Пусть $\angle A = \angle B = 60^\circ$, так как трапеция равнобокая.
   • $AD = BC$, поскольку боковые стороны равны.

2. Используем прямую, параллельную боковой стороне:

   • Прямая, проходящая через вершину тупого угла (например, через вершину $C$) и параллельная боковой стороне $AD$, делит основание $CD$ на два отрезка: $CE = 5$ см и $ED = 4$ см.
   • Это значит, что $CD = CE + ED = 5 \, \text{см} + 4 \, \text{см} = 9 \, \text{см}$.

3. Используем свойства равнобокой трапеции:

   • Так как $\angle A = 60^\circ$ и боковые стороны параллельны, треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CDE$ будут равносторонними (углы при вершинах равны $60^\circ$).
   • Поскольку угол при основании равен $60^\circ$, то боковые стороны $AD$ и $BC$ наклонены под углом $60^\circ$ к основаниям $AB$ и $CD$.

4. Вычисляем основание $AB$:

   • В равностороннем треугольнике, опущенная из вершины высота делит противоположную сторону пополам и является медианой.
   • В треугольнике $ABE$ высота будет делить сторону $AB$ пополам, а её длина равна $5 \, \text{см}$.
   • Так как высота треугольника в равностороннем треугольнике с длиной стороны $a$ равна $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$, получаем: $$5 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB \implies AB = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.77 \, \text{см}.$$

5. Находим боковые стороны $AD$ и $BC$:

   • Боковые стороны равны высоте треугольника $ABE$, так как это расстояние между параллельными основаниями.
   • Таким образом, $AD = BC = 5 \, \text{см}$.

6. Находим периметр трапеции:

   • Периметр трапеции $P$ равен сумме всех её сторон: $$P = AB + CD + AD + BC.$$
   • Подставляем значения: $$P = 5.77 \, \text{см} + 9 \, \text{см} + 5 \, \text{см} + 5 \, \text{см} = 24.77 \, \text{см}.$$

Ответ:

Периметр равнобокой трапеции равен примерно $24.77 \, \text{см}$.

Сколько решений имеет задача?

В задаче не предполагается альтернативных условий или способов интерпретации, поэтому она имеет единственное решение.