Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

Чтобы доказать, что медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади, давайте рассмотрим треугольник $ABC$, в котором медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой стороны $AC$, то есть точкой $M$, где $M$ — середина $AC$.

1. Свойства медианы: Медиана треугольника делит одну из сторон пополам, в нашем случае, медиана $BM$ делит сторону $AC$ на два равных отрезка $AM = MC$.

2. Площадь треугольников: Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высоту}.$$

   Рассмотрим два треугольника, на которые медиана делит исходный треугольник:

   • Треугольник $ABM$

   • Треугольник $BCM$

   Оба этих треугольника имеют общую высоту от вершины $B$ до прямой $AC$, поскольку высота в обоих случаях измеряется от одной и той же вершины $B$ до основания, которое является прямой $AC$.

3. Сравнение площадей:

   • Площадь треугольника $ABM$ равна:

     $$S_{ABM} = \frac{1}{2} \times AM \times h,$$

     где $h$ — это высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$.

   • Площадь треугольника $BCM$ равна:

     $$S_{BCM} = \frac{1}{2} \times MC \times h.$$

4. Равенство оснований: Так как $M$ — середина стороны $AC$, то $AM = MC$.

5. Заключение: Поскольку $AM = MC$, то и площади треугольников $ABM$ и $BCM$ будут равны, потому что у них одинаковые основания и общая высота. Таким образом, медиана $BM$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника равной площади.

Это и есть доказательство того, что медиана треугольника делит его на два треугольника одинаковой площади.