Найдите sin a, если cos a=√3/3 и угол а находится в III четверти.

Чтобы найти значение $\sin a$, если известно, что $\cos a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и угол $a$ находится в III четверти, нужно использовать тригонометрические свойства и теорему Пифагора.

1. В III четверти значения косинуса и синуса отрицательны, то есть $\sin a < 0$ и $\cos a < 0$.

2. Известно, что $\cos a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, но так как угол находится в III четверти, это значение будет отрицательным:

   $$\cos a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

3. Используем основное тригонометрическое тождество:

   $$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

4. Подставляем известное значение для $\cos a$:

   $$\sin^2 a + \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 = 1$$ $$\sin^2 a + \frac{3}{9} = 1$$ $$\sin^2 a + \frac{1}{3} = 1$$

5. Вычитаем $\frac{1}{3}$ из обеих частей уравнения:

   $$\sin^2 a = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

6. Теперь находим $\sin a$, взяв квадратный корень из $\sin^2 a$:

   $$\sin a = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$

   (минус, потому что в III четверти синус отрицателен).

Ответ: $\sin a = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.