В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC=4 боковая сторона равна 2√10. Найдите тангенс угла ACB.

Для того чтобы найти тангенс угла $\angle ACB$ в равнобедренном треугольнике $ABC$, нам нужно воспользоваться свойствами треугольника и формулами для тангенса угла.

1. Запишем данные:

   • $AC = 4$ — основание треугольника.

   • $AB = BC = 2\sqrt{10}$ — боковые стороны.

2. Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника:
   Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, его высота, проведенная из вершины $B$ на основание $AC$, делит основание пополам. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как $D$. Тогда $AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

3. Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABD$:
   В прямоугольном треугольнике $ABD$ гипотенуза $AB = 2\sqrt{10}$, а один из катетов $AD = 2$. Найдем высоту $BD$, используя теорему Пифагора:

   $$AB^2 = AD^2 + BD^2$$ $$(2\sqrt{10})^2 = 2^2 + BD^2$$ $$40 = 4 + BD^2$$ $$BD^2 = 40 - 4 = 36$$ $$BD = \sqrt{36} = 6$$

4. Теперь найдем тангенс угла $\angle ACB$:
   Тангенс угла $\angle ACB$ — это отношение противолежащего катета (высоты $BD$) к прилежащему катету (половине основания $AD$):

   $$\tan(\angle ACB) = \frac{BD}{AD} = \frac{6}{2} = 3$$

Таким образом, тангенс угла $ACB$ равен 3.