диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найти площадь трапеции, если её высота 12 см, диагональ 20 см.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции, где диагональ перпендикулярна боковой стороне, используем геометрические и алгебраические методы.

Шаг 1. Разбиение трапеции на прямоугольные треугольники

Предположим, что трапеция имеет основания $a$ и $b$ (где $a > b$), боковую сторону $c$, высоту $h = 12$ см и диагональ $d = 20$ см. Диагональ перпендикулярна боковой стороне, что позволяет использовать свойство прямоугольных треугольников.

Шаг 2. Обозначения и разбор ситуации

1. Мы знаем, что диагональ перпендикулярна боковой стороне. Это значит, что диагональ делит трапецию на два прямоугольных треугольника. Пусть точка пересечения диагонали с боковой стороной будет точкой $P$.

2. В результате трапеция делится на два прямоугольных треугольника, у каждого из которых одна катета равна высоте трапеции (12 см), а гипотенуза — это диагональ (20 см).

3. Таким образом, каждый прямоугольный треугольник имеет катеты 12 см и некоторую длину, которую мы можем вычислить с помощью теоремы Пифагора.

Шаг 3. Применение теоремы Пифагора

Обозначим длину отрезка от основания трапеции до точки пересечения диагонали с боковой стороной как $x$. Применяя теорему Пифагора к одному из прямоугольных треугольников, получаем:

Таким образом, каждый из этих отрезков имеет длину 16 см.

Шаг 4. Нахождение основания трапеции

Теперь, зная, что точка пересечения диагонали делит боковую сторону на два отрезка, каждый длиной 16 см, можно найти длину основания трапеции. Так как боковая сторона трапеции делится на два отрезка, и они оба равны, длина основания трапеции равна удвоенной длине одного из этих отрезков:

Шаг 5. Нахождение площади трапеции

Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

Где $a = 32$ см, $b = 0$ см (так как трапеция — это прямоугольная трапеция с одним из оснований равным 0), и $h = 12$ см.

Таким образом, площадь трапеции:

Ответ: площадь трапеции равна 192 см².