Биссектриса равностороннего треугольника равна 6√3. Найдите сторону этого треугольника

Рассмотрим равносторонний треугольник, у которого биссектриса равна $6\sqrt{3}$. Нам нужно найти длину стороны этого треугольника.

Шаг 1: Свойства биссектрисы в равностороннем треугольнике

В равностороннем треугольнике все стороны равны, все углы равны $60^\circ$. Биссектриса в таком треугольнике обладает особыми свойствами: она одновременно является медианой и высотой. Это значит, что биссектриса делит угол пополам, а также делит противоположную сторону пополам и образует прямоугольный треугольник.

Шаг 2: Построение и обозначение

Обозначим сторону равностороннего треугольника за $a$. Пусть $AD$ — биссектриса, проведённая из вершины $A$ на сторону $BC$ равностороннего треугольника $ABC$. Так как биссектриса в равностороннем треугольнике также является медианой, то она делит сторону $BC$ пополам, и $BD = DC = \frac{a}{2}$.

Шаг 3: Применение теоремы Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$, где:

• $AD$ — это биссектриса, равная $6\sqrt{3}$ (по условию задачи).
• $BD = \frac{a}{2}$ — половина стороны $BC$.
• $AB = a$ — сторона равностороннего треугольника.

В этом треугольнике можно применить теорему Пифагора:

Подставим значения:

Шаг 4: Упрощение уравнения

Вычислим квадрат длины биссектрисы:

Подставим это в уравнение:

Шаг 5: Решение уравнения

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

Ответ

Сторона равностороннего треугольника равна $12$.