Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 6. Найти длину окружности, вписанной в этот треугольник.

Чтобы найти длину окружности, вписанной в правильный треугольник, нужно сначала вычислить радиус вписанной окружности.

Известно, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 6. Радиус описанной окружности правильного треугольника можно выразить через сторону треугольника $a$ с помощью формулы:

где $R$ — радиус описанной окружности. В данном случае $R = 6$, значит, сторона треугольника $a$ будет:

Теперь найдем радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности $r$ правильного треугольника выражается через сторону $a$ по формуле:

Подставим значение $a = 6 \cdot \sqrt{3}$:

Теперь можно найти длину окружности, вписанной в треугольник. Длина окружности вычисляется по формуле:

Подставим значение $r = 3$:

Таким образом, длина окружности, вписанной в правильный треугольник, равна $6 \pi$.