развертка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна 8 см, а угол между диагоналями 30 градусов. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, длина которого равна длине окружности основания цилиндра (то есть $2\pi r$), а ширина — высоте цилиндра $h$. Нам известно, что диагональ этого прямоугольника равна 8 см, а угол между диагоналями — 30°.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$. Тогда диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные углы прямоугольника, и обе диагонали равны, так как прямоугольник. Угол между диагоналями равен 30°.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и включающий угол 30°. Такой треугольник равнобедренный, с двумя сторонами по 8 см, а угол между ними 30°.

Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Это площадь ромба, образованного диагоналями прямоугольника (так как диагонали прямоугольника пересекаются и делят его на два равных треугольника). Но нам нужно найти стороны прямоугольника, чтобы найти его площадь.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$. Тогда по теореме косинусов для диагоналей и угла между ними:

Диагонали прямоугольника делятся пополам и пересекаются под углом 30°, так что образуется ромб со сторонами длиной $\frac{d}{2} = 4$ см и углом 30°. Тогда длины половин диагоналей:

Пусть половины диагоналей — $\frac{d_1}{2} = \frac{a}{2}$, $\frac{d_2}{2} = \frac{b}{2}$. Тогда по формуле для угла между диагоналями:

Это слишком сложно для прямоугольника. Лучше применим следующую идею:

Раз диагонали прямоугольника пересекаются под углом 30°, то они образуют ромб, внутри которого угол 30°. Тогда можно применить формулу для угла между диагоналями прямоугольника:

Но проще пойти другим путем.

Геометрический подход:

Пусть стороны прямоугольника — $a$ и $b$, и угол между диагоналями — 30°. Тогда если рассмотреть диагонали как векторы, угол между ними 30°, и можно найти длину сторон прямоугольника с помощью векторной формулы скалярного произведения.

Но есть более простой путь:

Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 30°, значит они образуют параллелограмм, состоящий из двух равных треугольников с известными сторонами (по 8 см) и углом 30°.

Найдем стороны прямоугольника $a$ и $b$, используя тригонометрию. У нас есть две диагонали длиной 8 см и угол между ними 30°, то есть можно построить ромб с диагоналями, пересекающимися под углом 30°, и каждая сторона которого будет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$.

Но проще всего использовать формулу:

Но это избыточно.

Лучший способ — воспользоваться формулой площади прямоугольника через диагонали и угол между ними.

Площадь прямоугольника по диагоналям и углу между ними:

В прямоугольнике диагонали равны, и угол между ними — 30°, тогда:

Это не площадь боковой поверхности, а площадь ромба, образованного диагоналями.

Но площадь прямоугольника через диагонали и угол между диагоналями находится по формуле:

Где $d$ — длина диагонали, $\phi$ — угол между диагоналями. Это формула для площади прямоугольника, если известны диагональ и угол между диагоналями.

Подставим:

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра, которая равна площади развертки — прямоугольника с указанными диагональю и углом между диагоналями, — равна 16 см².