среди прямоугольников, сумма длин трех сторон которых равна 20 см, найти периметр прямоугольника с наибольшей площадью

Рассмотрим задачу: среди прямоугольников, сумма длин трёх сторон которых равна 20 см, нужно найти периметр прямоугольника с наибольшей площадью.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$. У прямоугольника две стороны по $a$ и две по $b$, но по условию известна сумма трёх сторон: допустим, это $a + b + a = 2a + b = 20$. Мы выбрали конкретно две стороны по $a$ и одну сторону по $b$ — это допустимо, так как стороны симметричны, и ничего не теряется в общем виде. Аналогично, можно было бы взять $a + 2b = 20$, но результат будет тот же.

Итак, у нас:

Выразим $b$ через $a$:

Площадь прямоугольника $S = ab$, подставим $b$:

Теперь найдём максимум этой функции. Это квадратичная функция, ветви направлены вниз (при $a^2$ коэффициент отрицательный), значит, максимум достигается в вершине параболы.

Вершина параболы находится по формуле:

Тогда:

То есть, прямоугольник имеет стороны 5 см и 10 см. Тогда его периметр:

Ответ: 30 см — это периметр прямоугольника с наибольшей площадью при условии, что сумма трёх его сторон равна 20 см.