В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь

Ответы на вопрос

Отвечает Королёв Ваня.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол C прямой (т.е. ∠C = 90°), а значит, треугольник прямоугольный с гипотенузой AB = 12. Также известно, что радиус вписанной окружности $r = 2$ . Требуется найти площадь треугольника.

Шаг 1: Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности выражается через катеты $a$ и $b$ (прямые стороны), как:

r = \frac{a + b - c}{2}

где $c$ — гипотенуза. В нашем случае $c = AB = 12$ , $r = 2$ . Подставим:

2 = \frac{a + b - 12}{2}

Умножим обе части на 2:

4 = a + b - 12

Получаем:

a + b = 16 \tag{1}

Шаг 2: Используем теорему Пифагора

Поскольку треугольник прямоугольный, можно применить теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2 = 144 \tag{2}

Шаг 3: Решим систему уравнений

У нас есть:

$a + b = 16$
$a^2 + b^2 = 144$

Используем тождество:

(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab

Подставим:

16^2 = 144 + 2ab \Rightarrow 256 = 144 + 2ab \Rightarrow 2ab = 112 \Rightarrow ab = 56

Шаг 4: Найдем площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна:

S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 56 = 28

Ответ:
Площадь треугольника ABC равна 28.

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия