Найдите точки пересечения окружности x²+y²=1c прямой: y=2x+1 y=x+1

Чтобы найти точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 1$ с прямыми $y = 2x + 1$ и $y = x + 1$, нужно решить систему уравнений для каждой прямой по очереди.

1. Пересечение с прямой $y = 2x + 1$:

Подставим $y = 2x + 1$ в уравнение окружности:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Вычтем 1 с обеих сторон:

Вынесем общий множитель:

Получаем два корня:

1. $x = 0$

2. $x = -\frac{4}{5}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$. Подставляем эти значения $x$ в уравнение прямой $y = 2x + 1$.

• Для $x = 0$: $y = 2(0) + 1 = 1$.

• Для $x = -\frac{4}{5}$: $y = 2(-\frac{4}{5}) + 1 = -\frac{8}{5} + 1 = -\frac{3}{5}$.

Таким образом, точки пересечения с прямой $y = 2x + 1$ — это $(0, 1)$ и $\left(-\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)$.

2. Пересечение с прямой $y = x + 1$:

Подставим $y = x + 1$ в уравнение окружности:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Вычтем 1 с обеих сторон:

Вынесем общий множитель:

Получаем два корня:

1. $x = 0$

2. $x = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$. Подставляем эти значения $x$ в уравнение прямой $y = x + 1$.

• Для $x = 0$: $y = 0 + 1 = 1$.

• Для $x = -1$: $y = -1 + 1 = 0$.

Таким образом, точки пересечения с прямой $y = x + 1$ — это $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

Итог:

• Точки пересечения окружности с прямой $y = 2x + 1$: $(0, 1)$ и $\left(-\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)$