Даны вершины треугольника A(2;-2), B(3;-5), C(5;7). Составить уравнение высоты BD. И вычислить длину.

Для решения задачи нам нужно составить уравнение высоты $BD$ треугольника $ABC$ и вычислить её длину. Разберём задачу по шагам.

1. Определение уравнения высоты $BD$

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. В нашем случае высота $BD$ опущена из вершины $B(3; -5)$ на сторону $AC$, поэтому она должна быть перпендикулярна прямой $AC$. Для начала найдём уравнение прямой $AC$.

Определим коэффициенты уравнения прямой $AC$

Уравнение прямой в общем виде можно записать как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

Найдём угловой коэффициент $k$ для прямой $AC$. Он вычисляется по формуле:

Теперь уравнение прямой $AC$ выглядит так:

Чтобы найти $b$, подставим координаты одной из точек, например, $A(2; -2)$, в уравнение:

Значит, уравнение прямой $AC$ имеет вид:

Найдём уравнение высоты $BD$

Поскольку высота $BD$ перпендикулярна прямой $AC$, угловой коэффициент высоты будет равен отрицательной обратной величине углового коэффициента прямой $AC$. То есть:

Теперь уравнение прямой $BD$ имеет вид:

Для нахождения $b$ подставим в это уравнение координаты точки $B(3; -5)$:

Таким образом, уравнение высоты $BD$ будет:

2. Вычисление длины высоты $BD$

Длина перпендикуляра из точки $B(3; -5)$ на прямую $AC$ может быть найдена с помощью формулы расстояния от точки до прямой. Уравнение прямой $AC$ в общем виде можно записать как:

Формула расстояния от точки $(x_1; y_1)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ имеет вид:

В нашем случае точка $B(3; -5)$, а уравнение прямой $3x - y - 8 = 0$, где $A = 3$, $B = -1$, $C = -8$. Подставим значения в формулу: