Окружность проходит через точки М (2; 0) и N (-4; 8). Напишите уравнение этой окружности, если отрезок MN является её диаметром.

Чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точки $M(2, 0)$ и $N(-4, 8)$, если отрезок $MN$ является её диаметром, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем центр окружности.

Центр окружности лежит в середине диаметра, то есть это середина отрезка $MN$. Для нахождения координат середины отрезка воспользуемся формулой:

Где:

• $M(2, 0)$ имеет координаты $x_1 = 2$, $y_1 = 0$,
• $N(-4, 8)$ имеет координаты $x_2 = -4$, $y_2 = 8$.

Находим середину:

Значит, центр окружности находится в точке $(-1, 4)$.

2. Найдем радиус окружности.

Радиус окружности равен половине длины диаметра. Для нахождения длины диаметра $MN$ воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками:

Подставим значения для точек $M(2, 0)$ и $N(-4, 8)$:

Длина диаметра $MN$ равна 10, значит, радиус окружности $R$ равен:

3. Уравнение окружности.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

Мы уже нашли, что центр окружности $(-1, 4)$, а радиус $R = 5$. Подставим эти значения в уравнение:

Упрощаем:

Это и есть уравнение окружности.

Ответ:

Уравнение окружности: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25$.