В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 4. Через такую точку T ребра AD, что AT :TD = 3:1, параллельно прямым AC и BD прове- дена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямо- угольником. б) Найдите площадь сечения.

Часть а) Доказательство, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.

1. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ABCD, где основание — правильный треугольник со стороной 6, а боковое ребро пирамиды равно 4.

2. Пусть точка T находится на ребре AD таким образом, что $AT : TD = 3 : 1$. Это означает, что точка T делит ребро AD в соотношении 3:1, где AT — часть, близкая к вершине A, а TD — часть, ближе к точке D.

3. В задаче говорится, что через точку T проведена плоскость, которая параллельна прямым AC и BD. Это важный момент, так как параллельность прямым предполагает, что сечение будет иметь определенную геометрическую форму.

4. Так как AC и BD — это стороны основания правильного треугольника ABC, и плоскость параллельна этим прямым, то сечение будет пересекать ребра пирамиды, проходя через точки, расположенные на тех же линиях, что и стороны треугольника.

5. Важно отметить, что плоскость будет перпендикулярна боковым ребрам пирамиды, так как она параллельна сторонам основания и пересекает ребра, расположенные под прямым углом к основаниям. Это обеспечит образование прямого угла на сечении.

6. Таким образом, сечение пирамиды будет перпендикулярным по отношению к основанию и боковым ребрам, что является характеристикой прямоугольника.

Часть б) Нахождение площади сечения.

1. Основание правильной треугольной пирамиды — это правильный треугольник ABC со стороной 6. Площадь этого треугольника можно найти по формуле для площади правильного треугольника:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

   где $a = 6$. Подставим значение:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$

   Это площадь основания пирамиды.

2. Теперь, поскольку точка T делит ребро AD в соотношении 3:1, плоскость, проведенная через T, будет параллельна основанию и будет уменьшенной копией основания. При этом коэффициент подобия сечения будет равен $\frac{3}{4}$, так как длина отрезка AT составляет 3/4 от всей длины ребра AD, а боковые ребра пирамиды пропорциональны аналогично.

3. Площадь сечения будет пропорциональна квадрату коэффициента подобия. Площадь сечения $S_{\text{сечение}}$ можно найти по формуле:

   $$S_{\text{сечение}} = S_{\text{осн}} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 9\sqrt{3} \cdot \frac{9}{16} = \frac{81\sqrt{3}}{16}$$

Таким образом, площадь сечения пирамиды указанной плоскостью равна $\frac{81\sqrt{3}}{16}$.