Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Найдите основание, если медиана ВМ равна 12 см, а боковая сторона 13 см.

Задача сводится к нахождению длины основания равнобедренного треугольника, зная медиану и длину боковой стороны.

1. Пусть треугольник $ABC$ равнобедренный, где основание $AC$, а боковые стороны $AB$ и $BC$ равны 13 см. Медиана $BM$ равна 12 см. Медиана $BM$ делит основание $AC$ пополам, поэтому точка $M$ — это середина отрезка $AC$.

2. Разделим треугольник пополам, проведя медиану $BM$, что образует два прямоугольных треугольника $ABM$ и $BCM$. В этих треугольниках:

   • $AB = 13$ см (боковая сторона),

   • $BM = 12$ см (медиана),

   • $AM = \frac{AC}{2}$ см (половина основания).

3. Используем теорему Пифагора для треугольника $ABM$. Она гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

   $$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

   Подставим известные значения:

   $$13^2 = \left( \frac{AC}{2} \right)^2 + 12^2$$ $$169 = \left( \frac{AC}{2} \right)^2 + 144$$ $$169 - 144 = \left( \frac{AC}{2} \right)^2$$ $$25 = \left( \frac{AC}{2} \right)^2$$ $$\frac{AC}{2} = 5$$

   Следовательно:

   $$AC = 10 \, \text{см}$$

Таким образом, основание треугольника $AC$ равно 10 см.