В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба.

В ромбе все стороны равны, а его диагонали пересекаются под прямым углом и делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. Если одна из диагоналей равна стороне ромба, это означает, что одна из половин диагонали также равна стороне ромба.

Давайте рассмотрим ромб с диагоналями $d_1$ и $d_2$, где $d_1 = a$ (где $a$ — длина стороны ромба). Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом, они делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике гипотенуза будет равна стороне ромба $a$, а катеты — половины диагоналей.

Так, половина диагонали $d_1$ равна $a/2$, а половина диагонали $d_2$ — $d_2/2$. По теореме Пифагора для одного из этих треугольников получаем:

Подставим $d_1 = a$:

умножим обе стороны на 4:

Теперь у нас есть длина обеих диагоналей: $d_1 = a$ и $d_2 = \sqrt{3}a$.

Для нахождения углов ромба воспользуемся тем, что углы между диагоналями ромба делят его углы пополам. В каждом из прямоугольных треугольников один из углов будет равен $\theta$, который можно найти через тангенс угла:

Отсюда $\theta = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$.

Так как углы ромба делятся диагоналями пополам, то полный угол ромба будет в два раза больше: $2 \times 60^\circ = 120^\circ$.

Таким образом, углы ромба равны $120^\circ$ и $60^\circ$.