Докажите, что диаметр окружности, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам.

Давайте разберем этот вопрос шаг за шагом.

Утверждение: Диаметр окружности, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам.

Для того, чтобы доказать это, используем несколько геометрических свойств окружности.

1. Пусть на окружности задан диаметр $AB$ и хорда $CD$, причём диаметр перпендикулярен хорде $CD$. То есть, линия, проходящая через центр окружности $O$, перпендикулярна хорде $CD$. Пусть точка $M$ — это точка пересечения диаметра $AB$ с хордою $CD$.

2. Важно заметить, что центр окружности лежит на диаметре, и что диаметр всегда делит окружность на две равные части. Поэтому, если из центра окружности провести перпендикуляр к хорде, то этот перпендикуляр будет обязательно делить хорду на две равные части. Это свойство следует из теоремы о перпендикуляре из центра окружности к хорде.

3. Рассмотрим треугольники, образованные диаметром и хордой. Из-за того, что диаметр перпендикулярен хорде, два прямых угла, образованные этим перпендикуляром, будут одинаковыми. Кроме того, радиусы окружности от центра $O$ до концов хорды $C$ и $D$ равны. Это позволяет заключить, что два треугольника, которые образуются радиусами и перпендикуляром, являются прямоугольными и равными по гипотенузе и катету.

4. Если треугольники равны, то их соответствующие стороны тоже равны. Таким образом, точка $M$, где перпендикуляр пересекает хорду $CD$, делит её пополам.

Итак, мы доказали, что диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам.