Диаметр АА1 окружности перпендикулярен хорде ВВ1. Докажите, что градусные меры дуг AB и АВ1, меньших 180 градусов, равны

Чтобы доказать, что градусные меры дуг $AB$ и $AB_1$, меньших $180^\circ$, равны, рассмотрим данное условие задачи: диаметр $AA_1$ окружности перпендикулярен хорде $BB_1$.

Рассуждение:

1. Диаметр окружности и его свойства: Диаметр $AA_1$ является самой длинной хордой окружности и проходит через её центр $O$. Так как $AA_1$ перпендикулярен хорде $BB_1$, то по свойству окружностей диаметр проходит через середину хорды $BB_1$ (в точке $M$).

2. Разбиение окружности: Точки $A, B, B_1, A_1$ делят окружность на несколько дуг:

   • $AB$ — дуга между точками $A$ и $B$,
   • $AB_1$ — дуга между точками $A$ и $B_1$,
   • $BB_1$ — хорда, которая соединяет точки $B$ и $B_1$.

3. Углы, опирающиеся на дуги: Рассмотрим центральные углы:

   • Центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу $AB$,
   • Центральный угол $\angle AOB_1$ опирается на дугу $AB_1$.

4. Симметрия относительно диаметра: Так как диаметр $AA_1$ перпендикулярен хорде $BB_1$ и делит её пополам, точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно диаметра $AA_1$. Это значит, что угол $\angle AOB$ равен углу $\angle AOB_1$, поскольку они опираются на симметричные дуги относительно диаметра.

5. Равенство градусных мер дуг: Поскольку центральные углы $\angle AOB$ и $\angle AOB_1$ равны, то равны и соответствующие дуги $AB$ и $AB_1$ (градусная мера дуги определяется центральным углом, который на неё опирается).

Вывод:

Дугам $AB$ и $AB_1$, меньшим $180^\circ$, соответствуют равные центральные углы. Следовательно, их градусные меры равны.