Из вершины  � C прямоугольного треугольника к гипотенузе  � � AB опущена высота  � � CH. Найди  � � CH, если  � � = 6 AH=6,  � � = 13 , 5 BH=13,5.

Чтобы найти длину высоты $CH$ из вершины прямоугольного треугольника $ABC$ к гипотенузе $AB$, воспользуемся свойством прямоугольных треугольников и теоремой о площади.

В прямоугольном треугольнике $ABC$, где $C$ — прямой угол, из вершины $C$ опущена высота $CH$ на гипотенузу $AB$. Известно следующее:

• $AH = 6$

• $BH = 13,5$

• $AB = 13$

1. Сначала найдем длину гипотенузы $AB$ (она уже дана — 13). Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника $ABC$:

Здесь длины катетов $AC$ и $BC$ пока неизвестны, но мы можем использовать площадь треугольника, чтобы найти высоту.

2. Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами:

• Через катеты:

• Через гипотенузу и высоту:

3. Площадь также можно найти через сумму площадей двух меньших треугольников $AHC$ и $BHC$, образованных высотой $CH$:

• Площадь треугольника $AHC$ будет равна $\frac{1}{2} \cdot AH \cdot CH$

• Площадь треугольника $BHC$ будет равна $\frac{1}{2} \cdot BH \cdot CH$

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ выражается как:

4. Подставим значения:

5. Также, площадь можно выразить через катеты и гипотенузу. Площадь треугольника $ABC$ можно найти через катеты с использованием теоремы Пифагора, и она будет:

Также выражаем $S$ через гипотенузу $AB = 13$, результат будет равен:

Приравняем оба выражения для площади:

Упростим:

Теперь решим это уравнение относительно $CH$:

Здесь, очевидно, $CH$ будет длиной